Soal Matematika Informatika Metode atau Logika Pembuktian.

1.  1.  Penyelesaian dari 3x + 4y = 7 dan 6x + 8y = 21 dengan metode eliminasi adalah…

a.       7 = 2

b.      1 = 7

c.       0 = 7

d.      7 = 1

e.      2 = 7

Jawaban : c. 0 = 7

Penjelasan :

                                    Persamaan 1 kalikan 2
                                    6x + 8y = 21
                                    6x + 8y = 14
                                              0 = 7;

2.      Pernyataan berikut yang sesuai dengan metode pembuktian kontradiksi adalah…

a.       Membuat pemisalan jika p maka q adalah benar

b.      Jika ~q benar maka ~p juga harus benar

c.       Jika p benar maka q benar

d.      Suatu pembuktian untuk pernyataan yang memuat bilangan asli

e.       Tidak ada jawaban yang benar 

Jawaban :        a. Membuat Permisalan jika p maka q adalah benar

Penjelasannya:

                        Kontradiksi ialah dua hal dimana kedua hal tersebut tidak boleh samasama benar dalam waktu yang sama. Jadi, kita buat pemisalan jika p salah , q benar. Jika kita buat ke dalam operasi logika p maka q (p → q) maka hasil yang didapat adalah benar.

  

3.      Yang manakah yang termasuk dalam metode  pembuktian tidak langsung…?

a.       Metode kontraposisi

b.      Metode Disjungsi

c.       Metode Equivalen

d.      Metode Ingkarang

e.       Metode Eliminasi

Jawaban:         a. Metode kontraposisi

Penjelasan:

Karena metode kontraposisi termasuk metode pembuktian tidak langsung.

4.      Manakah yang termasuk ke dalam teori komutatif…?

a.       A.B = B.A

b.      (A+B)+C = A+(B+C)

c.       ( B + C ) = A . B + A . C

d.      A + A = A

e.       A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )

Jawaban:         a. A.B = B.A

Penjelasan:

                        Hukum komutatif artinya kita bisa menukar angka dan jawabannya tetap sama baik itu penjumlahan, ataupun perkalian.

5.     5.  Dibawah ini pernyataan yang benar tentang metode pembuktian langsung adalah ...

a.    3 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

b.    4 adalah bilangan genap sebab terdapat 1

c.    5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

d.    A, B, dan C benar

e.    idak ada jawaban yang benar

Jawaban :c. 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

Penyelesaian :

Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga

n = 2k + 1.

5 = 2(2) + 1

5 = 4 + 1

5 = 5

6.      Apakah N³ + 2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk n = 1 dan berlaku kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat postitif n (menggunakan induksi matematika)…

a.       Ya dan ya

b.      Ya dan tidak

c.       Tidak dan bisa jadi

d.      Tidak ada jawaban benar

e.       Tidak dan tidak

 Jawaban:         a. Ya dan ya

 Penyelesaian:
                        q Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :
                        13 + 2(1) = 3 yg merupakan kelipatan 3 (ya, berlaku n=1)
                        q Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x
                        q adib. Untuk n = k + 1 berlaku
                        (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3
                        (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2
                        (k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3)
                        (k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1)
                        Induksi
                        3x + 3 (k 2 + k + 1)
                        3 (x + k 2 + k + 1)

                        Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat positif n (ya berlaku kelipatan 3).

7.      Manakah yang termasuk ke dalam teori asosiatif…

a.       A . ( B + C ) = A . B + A . C

b.      ( A . B ) . C = A . ( B . C )

c.       A . B = B . A

d.      A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )

e.       A . A = A

Jawaban:         b. ( A . B ) . C = A . ( B . C )

Penjelasan:

Hukum asosiatif artinya kita bisa saja mengelompokkan operasi bilangan dengan urutan berbeda.

8.      Berikut adalah pernyataan yang benar mengenai prinsip induksi sederhana , kecuali…

a.       P(1) bernilai benar

b.      N ≥ 1 untuk bilangan bulat positif

c.       N ≥ 1 untuk bilangan ganjil

d.      P(n) harus bernilai benar

e.       P(n +1) harus bernilai benar

            Jawaban :        c. N ≥ 1 untuk bilangan ganjil

Penjelasan:

                        Karena, salah satu ciri dari induksi sederhana adalah N ≥ 1 untuk bilangan bulat positif, sementara pada pilihan C hanya untuk bilangann ganjil.

9.      Jika  2 + 4 + 6 + …. + 2n=n(n+1), apakah terbukti benar jika n = 1

a.       Benar

b.      Salah

c.       a dan b benar

d.      a dan b salah

e.       tidak ada jawaban yang benar

Jawaban:         a. Benar 

Penjelasan:

                        n = 1, maka 2 = 1(1 +1)
                                                = 1 . 2
                                                = 2 -> maka terbukti benar untuk n = 1

10.  Misalkan p(n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1  untuk bilangan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1). Apakah p(n +1) bernilai benar…?

a.       Benar

b.      Salah

c.       a dan b benar

d.      a dan b salah

e.       tidak ada jawaban yang benar

Jawaban:         a. Benar

Penjelasan:

                        Buktikan bahwa p(n +1) benar, maka:
                        n = n + 1
                        2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)
                        2 + 4 + 6 + … + 2n + 2 (n +1) = n + 1 (n + 1 + 1)
                                                  2n + 2n + 2   = (n + 1) (n + 2)
                                                  2n + 2n + 2   = n (n + 1) + 2n + 2
                                                                        = n2 + n + 2n + 2
                                                                        = n2 + 3n + 2
                                                                        = (n + 1) (n + 2)     Terbukti Benar.